题目

如图，已知四边形 为梯形， 为矩形，平面 平面 ，又 ． （1） 证明： ； （2） 求二面角 的余弦值． 答案： ∵BDD1B1 为矩形，且平面 BDD1B1⊥ 平面 ABCD ， ∴BB1⊥ 平面 ABCD ，又 AD⊥DC ，所以可以以 D 为原点建立如图所示空间直角坐标系，则 A(1,0,0), B(1,1,0), C(0,2,0),D(0,0,0),B1(1,1,1),D1(0,0,1) ， CB1⇀=(1,−1,1), AD1⇀=(−1,0,1), CB1⇀⋅AD1⇀=−1×1+0×(−1)+1×1=0, ∴CB1⊥AD1 ． AD1⇀=(−1,0,1), D1B1⇀=(1,1,0), AC⇀=(−1,2,0) ， 设平面 AD1B1 的法向量为 m⇀=(x1,y1,z1) ，则 {m⇀⋅AD1⇀=−x1+z1=0m⇀⋅D1B1⇀=x1+y1=0  ， 令 x1=1 ，得 m⇀=(1,−1,1) ． 设平面 AD1C 的法向量为 n⇀=(x2,y2,z2) ，则 {n⇀⋅AD1⇀=−x2+z2=0n⇀⋅AC⇀=−x2+2y2=0 ， 令 y2=1 ，得 n⇀=(2,1,2) ． cosm⇀,n⇀=m⇀⋅n⇀|m⇀|⋅|n⇀|=33×3=33 ， 因为二面角 B1−AD1−C 为锐角，所以二面角 B1−AD1−C 的余弦值为 33 ．

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