题目

在某运动会上，有甲队女排与乙队女排以“五局三胜”制进行比赛，其中甲队是“慢热”型队伍，根据以往的经验，首场比赛甲队获胜的概率为 ，决胜局（第五局）甲队获胜的概率为 ，其余各局甲队获胜的概率均为 . （1） 求甲队以 获胜的概率； （2） 现已知甲队以 获胜的概率是 ，若比赛结果为 或 ，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为 ，则胜利方得2分，对方得1分，求甲队得分的分布列及数学期望. 答案： 记事件 A ：甲队以 3：2 获胜，则第五局甲队胜，前面四局甲队赢两局， 所以， P(A)=P⋅C31⋅(12)3⋅23+(1−P)⋅C32⋅(12)3⋅23=14 ； 记甲队以 3：0 获胜为事件 B ，则 P(B)=P×(12)2=14P=112 ，解得 P=13 . 记甲队得分为 X ，则 X 的可能取值有0、1、2、3， 若 X=0 ，则甲队以 0：3 或 1：3 落败，所以， P(X=0)=(1−13)⋅(1−12)2+13⋅(12)3+(1−13)⋅C21⋅(12)3=38 ； 若 X=1 ，则甲队以 2：3 落败，所以， P(X=1)=13⋅C31⋅(12)3⋅13+23⋅C32⋅(12)3⋅13=18 ； 若 X=2 ，则甲队以 3：2 获胜，所以， P(X=2)=P(A)=14 ； 若 X=3 ，则甲队以 3：0 或 3：1 获胜， 所以， P(X=3)=13⋅(12)2+13⋅C21⋅(12)2⋅12+23⋅(12)3=14 . 所以，随机变量 X 的分布列如下表所示： X 0 1 2 3 P 38 18 14 14 因此， E(X)=0×38+1×18+2×14+3×14=118 .

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