题目

已知圆锥的侧面展开图为半圆，母线长为 . （1） 求圆锥的底面积； （2） 在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，求圆柱的体积. 答案： 解：沿母线AB剪开，侧展图如图所示： 设 OB=R ，在半圆⊙A中， AB=23 ， 弧长 BB'=23π ， 这是圆锥的底面周长，所以 2πR=23π ， 所以 R=3 ， 故圆锥的底面积为 S圆锥=πR2=3π 解：设圆柱的高 OO1=h ， OD=r ， 在 Rt△AOB 中， AO=AB2−OB2=3 ， ∵ △AO1D1∼ △AOB ，所以 AO1AO=O1D1OB ， 即 3−h3=r3 ， h=3−3r ， S圆柱侧面积=2πrh=2πr(3−3r)=−23π(r2−3r) ， =−23π(r−32)2+332π ， 所以，当 r=32 ， h=32 时，圆柱的侧面积最大，此时 V圆柱=πr2h=98π

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