题目

已知函数 为二次函数，不等式 的解集是 ，且 在区间 上的最大值为12． （1） 求 的解析式； （2） 设函数 在 上的最小值为 ，求 的表达式及 的最小值． 答案： 解： f(x) 是二次函数，且 f(x)<0 的解集是 (0，5) ， ∴可设 f(x)＝ax(x−5)(a>0) ， 可得在区间 f(x) 在区间 [−1，52] 上函数是减函数，区间 [52，4] 上函数是增函数． ∵ f(−1)＝6a ， f(4)＝-4a ， f(-1)>f(4) ， ∴ f(x) 在区间 [−1，4] 上的最大值是 f(−1)＝6a＝12 ，得 a＝2 ． 因此，函数的表达式为 f(x)＝2x(x−5)＝2x2-10x(x∈R) 解：由（1）得 f(x)＝2(x−52)2−252 ，函数图象的开口向上，对称轴为 x=52 ， ①当 t+1≤52 时，即 t≤32 时， f(x) 在 [t，t+1] 上单调递减， 此时 f(x) 的最小值 g(t)＝f(t+1)＝2(t+1)2﹣10(t+1)＝2t2-6t-8 ； ②当 t≥52 时， f(x) 在 [t，t+1] 上单调递增， 此时 f(x) 的最小值 g(t)＝f(t)＝2t2-10t ； ③当 32<t<52 时，函数 y＝f(x) 在对称轴处取得最小值， 此时， g(t)＝f(52)=−252 ， 综上所述，得 g(t) 的表达式为 g(t)={2t2−6t−8，t≤32−252，32<t<522t2−10t，t≥52 ， 当 32≤t≤52 ， g(t) 取最小值 −252

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