题目

设函数 ( 且, ), 是定义在 上的奇函数. （1） 求 的值; （2） 已知 ,函数 ,求 的值域; （3） 若 ,对任意 ,不等式 恒成立,求实数 的取值范围. 答案： 解： ∵f(x)=kax−a−x 是定义域为 R 上的奇函数, ∴f(0)=0 ,得 k=1 . 此时, f(x)=ax−a−x,f(−x)=a−x−ax=−f(x) 即 f(x) 是 R 上的奇函数 解： ∵f(1)=32,∴a−1a=32 , 即 2a2−3a−2=0 , ∴a=2 或 a=−12 (舍去), ∴g(x)=22x+2−2x−4(2x−2−x)2−4(2x−2−x)+2 令 t=2x−2−x(1≤x≤2) , 易知 t=m(x) 在 [1,2] 上为增函数, ∴t∈[32,154] , ∴g(x)=Ψ(t)=t2−4t+2=(t−2)2−2 当 t=154 时, g(x) 有最大值 1716 ; 当 t=2 时, g(x) 有最小值 −2 , ∴g(x) 的值域是 [−2,1716] 解：由 a>1,h(x)=a|x|−|f(x)|={a−x,x≥0,ax,x<0, ∴h(x) 为偶函数,且 h(x) 在 (−∞,0) 单调递增,在 (0,+∞) 单调递减. 又 [h(x)]2={a−2x,x≥0,a2x,x<0, h(2x)={a−2x,x≥0,a2x,x<0, ∴h(x+λ)≤[h(x)]2=h(2x) 对任意 x∈[λ,λ+1] 恒成立,即 |2x|≤|x+λ| 对任意 x∈[λ,λ+1] 恒成立, 平方得: 3x2−2λx−λ2≤0 对 ∀x∈[λ,λ+1] 恒成立. ∴{3λ2−2λ⋅λ−λ2≤03(λ+1)2−2λ⋅(λ+1)−λ2≤0 ， 解得: λ≤−34 综上可得: λ 的取值范围是 (−∞,−34]

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