题目

知识背景:杭州留下有一处野生古杨梅群落,其野生杨梅是一种具特殊价值的绿色食品.在当地市场出售时,基地要求“杨梅”用双层上盖的长方体纸箱封装(上盖纸板面积刚好等于底面面积的2倍,如图)（1）实际运用:如果要求纸箱的高为0.5米,底面是黄金矩形(宽与长的比是黄金比,取黄金比为0.6),体积为0.3立方米.①按方案1(如图)做一个纸箱,需要矩形硬纸板的面积是多少平方米？②小明认为,如果从节省材料的角度考虑,采用方案2(如图)的菱形硬纸板做一个纸箱比方案1更优,你认为呢？请说明理由.（2）拓展思维:城西一家水果商打算在基地购进一批“野生杨梅”,但他感觉（1）中的纸箱体积太大,搬运吃力,要求将纸箱的底面周长、底面面积和高都设计为原来的一半,你认为水果商的要求能办到吗？请利用函数图象验证. 答案：解:（1）设纸箱底面的长为x,则宽为0.6x,根据题意得,0.6x2×0.5＝0.3,即x＝1.①＝(1＋0.5×4)×(0.6×2＋0.5×2)＝6.6(平方米).②如图,连接A2C2,B2D2相交于O2,设△D2EH中EH边上的高为h1,△A2NM中NM边上的高为h2,由△D2EH∽△D2MQ得,∴h1＝0.4,同理得,h2＝,∴A2C2＝,B2D2＝3,又四边形A2B2C2D2是菱形.故＝5.625(平方米)＜,所以方案2更优.（2）水果商的要求不能办到.设底面的长与宽分别为x、y,则x＋y＝0.8,xy＝0.3,即y＝0.8－和y＝,其图象如图所示.因为两个函数图象无交点,故水果商的要求无法办到.(说明:不画图象,由方程的判别式判断,不给满分)解析:（1）①利用宽与长的比是黄金比，取黄金比为0.6，假设底面长为x，宽就为0.6x，再利用图形得出QM=+0.5+1+0.5+=3，FH=0.3+0.5+0.6+0.5+0.3=2.2，进而求出即可；②根据菱形的性质得出，对角线乘积的一半绝对小于矩形边长乘积即可得出答案；（2）根据相似三角形的性质面积比等于相似比的平方得出即可

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