题目

在直角坐标系xOy中，四边形ABCD是矩形，点A在x轴上，点C在y轴的正半轴上，点B，D分别在第一，二象限，且AB=3，BC=4。 （1） 如图1，延长CD交x轴负半轴于点E，若AC=AE。 ①求证：四边形ABDE为平行四边形。 ②求点A的坐标。 （2） 如图2，F为AB上一点，G为AD的中点，若点G恰好落在y轴上，且CG平分∠DCF，求AF的长。 （3） 如图3，x轴负半轴上的点P与点Q关于直线AD对称，且AP=AD，若OBCQ的面积为矩形ABCD面积的 ，则BQ的长可为(写出所有可能的答案)。 答案： 解：①证明：∵AC=AE，AD=AD，∠ADC=∠ADE=90° ∴△ADC≌△ADE (HL)，∴DC=DE 又∵AB //__ CD，∴AB //__ DE ∴四边形ABDE为平行四边形 ②解：设OA=x AE=AC= AB2+BC2=32+42 =5 CE=2CD=2×3=6． OE= AE-OA=5-x ∵CE2 -OE2=OC2 = AC2 - OA2 ∴62-(5-x)2=52-x2 解得x= 75 ∴点A的坐标为( 75 ，0) 解：(方法一)延长BA交y轴于点M， 设AF=m 易证△AGM≌△DGC ∴AM=CD=3 又∵CG平分∠DCF ∴∠AMG=∠DCG=∠FCG ． ∴FC= FM =3+ m FB=3-m 又∵BC2+BF2=CF2 ∴42+(3-m)2=(3+m)2 解得：m= 43 ∴AF= 43 【1】102 或 462

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