题目

如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=﹣2x+b（b≥0）的位置随b的不同取值而变化． （1） 已知⊙M的圆心坐标为（4，2），半径为2．当b=时，直线l：y=﹣2x+b（b≥0）经过圆心M；当b=时，直线l：y=﹣2x+b（b≥0）与⊙M相切； （2） 若把⊙M换成矩形ABCD，其三个顶点坐标分别为：A（2，0）、B（6，0）、C（6，2）．设直线l扫过矩形ABCD的面积为S，当b由小到大变化时，请求出S与b的函数关系式． 答案： 【1】10【2】10±2 5 解：由题意，可知矩形ABCD顶点D的坐标为（2，2）．由一次函数的性质可知，当b由小到大变化时，直线l：y=﹣2x+b（b≥0）向右平移，依次扫过矩形ABCD的不同部分．可得当直线经过A（2，0）时，b=4；当直线经过D（2，2）时，b=6；当直线经过B（6，0）时，b=12；当直线经过C（6，2）时，b=14．①当0≤b≤4时，S=0；②当4＜b≤6时，如答图2所示．设直线l：y=﹣2x+b与x轴交于点P，与AD交于点Q．令y=0，可得x= b2 ，∴AP= b2 ﹣2；令x=2，可得y=b﹣4，∴AQ=b﹣4．∴S=S△APQ= 12 AP•AQ= 12 （ b2 ﹣2）（b﹣4）= 14 b2﹣2b+4；③当6＜b≤12时，如答图3所示．设直线l：y=﹣2x+b与x轴交于点P，与CD交于点Q．令y=0，可得x= b2 ，∴AP= b2 ﹣2；令y=2，可得x= b2 ﹣1，∴DQ= b2 ﹣3．S=S梯形APQD= 12 （DQ+AP）•AD=b﹣5；④当12＜b≤14时，如答图4所示．设直线l：y=﹣2x+b与BC交于点P，与CD交于点Q．令x=6，可得y=b﹣12，∴BP=b﹣12，CP=14﹣b；令y=2，可得x= b2 ﹣1，∴DQ= b2 ﹣3，CQ=7﹣ b2 ．S=S矩形ABCD﹣S△PQC=8﹣ 12 CP•CQ=- 14 b2+7b﹣41；⑤当b＞14时，S=S矩形ABCD=8．综上所述，当b由小到大变化时，S与b的函数关系式为：S={0(0≤b≤4)14b2−2b+4(4<b≤6)b−5(6<b≤12)−14b2+7b−41(12<b≤14)8(b>14) ．

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