题目

已知四边形ABCD，AD∥BC，连接BD．(1)小明说：“若添加条件BD2＝BC2＋CD2，则四边形ABCD是矩形．”你认为小明的说法是否正确？若正确，请说明理由；若不正确，请举出一个反例说明．(2)若BD平分∠ABC，∠DBC＝∠BDC，tan∠DBC＝1，求证：四边形ABCD是正方形．答案： (1)解：不正确. 如图作(直角)梯形ABCD，使得AD∥BC，∠C＝90°. 连结BD，则有BD2＝BC2＋CD2. 而四边形ABCD是直角梯形不是矩形. (2)证明：如图， ∵ tan∠DBC＝1， ∴ ∠DBC＝45°. ∵ ∠DBC＝∠BDC， ∴ ∠BDC＝45°. 且BC＝DC. 法1： ∵ BD平分∠ABC， ∴ ∠ABD＝45°，∴ ∠ABD＝∠BDC. ∴ AB∥DC. ∴ 四边形ABCD是平行四边形. 又∵ ∠ABC＝45°＋45°＝90°， ∴ 四边形ABCD是矩形. ∵ BC＝DC， ∴ 四边形ABCD是正方形. 法2：∵ BD平分∠ABC， ∠BDC＝45°，∴∠ABC＝90°. ∵ ∠DBC＝∠BDC＝45°，∴∠BCD＝90°. ∵ AD∥BC， ∴ ∠ADC＝90°. ∴ 四边形ABCD是矩形. 又∵ BC＝DC ∴ 四边形ABCD是正方形. 法3：∵ BD平分∠ABC，∴ ∠ABD＝45°. ∴ ∠BDC＝∠ABD. ∵ AD∥BC，∴ ∠ADB＝∠DBC. ∵ BD＝BD， ∴ △ADB≌△CBD. ∴ AD＝BC＝DC＝AB. ∴ 四边形ABCD是菱形. 又∵∠ABC＝45°＋45°＝90°， ∴ 四边形ABCD是正方形.

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