题目

如图，在四棱锥P－ABCD中，CD//AB， ， ， ． （1） 证明：BD 平面PAD； （2） 设平面PAD 平面PBC l， 平面ABCD G， ．在线段 上是否存在点M，使得二面角 的余弦值为 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由． 答案： 证明：在直角梯形 ABCD 中，易知 BD=22 ， AD=22   ∴ DA2+DB2=AB2 ∴ DA⊥DB ∵ DB⊥PA  且 PA∩DA=A ∴ DB⊥ 平面 PAD 解：延长 AD 与 BC 交于点 G ，连结 PG 取 AD 的中点 O ，联结 PO ，因为 PA=PD ，易证 PO⊥ 面 ABCD ，建立如图所示的空间直角坐标系，假设存在点 M 符合题意，且 PM→=λPG→(0≤λ≤1) ∵P(0,0,2) ， D(−2,0,0) ， C(−22,2,0) ， G(−32,0,0) ∴ DC→=(−2,2,0) ， DP→=(2,0,2) 设面 DPC 的法向量 n→=(x,y,z) ∴ {n⇀⋅DM⇀=2x+2z=0n⇀⋅DC⇀=−2x+2y=0 ， 令 x=1 ，则 y=1 ， z=−1 ∴ n→=(1,1,−1)   ∵ DM→=DP→+PM→=DP→+λPG→ ∴ DM→=(2−32λ,0,2−2λ) 同理可得面 DCM 的法向量： n1→=(λ−1,λ−1,1−3λ)      ∴ cos<n→,n1→>=|n→⋅n1→||n→||n1→|=|5λ−3|3·11λ2−10λ+3=63    ∴ λ=13     故存在满足条件的点 M ，且 PMPG=13 ；

查看本题答案和解析