题目

在① ， ，且 ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答. 问题： 的内角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ， 且______. （1） 求A的值； （2） 若 ，求 周长的最大值. 答案： 解：选①， 因为 m→=(cosA，cosB) ， n→=(b−2c，a) ，且 m→⊥n→ ， 所以 m→⋅n→=(b−2c)cosA+acosB=0 ， 由正弦定理得： (sinB−2sinC)cosA+sianAcosB=0 ， 即 sinBcosA−2sinCcosA+sianAcosB=sin(A+B)−2sinCcosA ， sinC−2sinCcosA=0 ， 又因 A，C∈(0，π) ，所以 cosA=12 ， 所以 A=π3 ； 选②， 因为 acosA+acos(B−C)=23bcosAsinC ， 所以 a[−cos(B+C)+cos(B−C)]=23bcosAsinC ， 即 a⋅2sinBsinC=23bcosAsinC ， 由正弦定理得： sinAsinBsinC=3sinBcosAsinC ， 又因 A，B，C∈(0，π) ，所以 tanA=3 ， 所以 A=π3 ； 选③， 因为 (sinB−sinC)2=sin2A−sinBsinC ， 由正弦定理得： b2−2bc+c2=a2−bc ， 即 a2=b2+c2−bc=b2+c2−2bccosA ， 所以 cosA=12 ，又因 A∈(0，π) ， 所以 A=π3 ； 由余弦定理的： a2=b2+c2−2bccosA=b2+c2−bc=(b+c)2−3bc ， 因为 bc≤14(b+c)2 ， 所以 (b+c)2−3bc≥14(b+c)2 ， 即 14(b+c)2≤4 ， 所以 b+c≤4 ，当且仅当 b=c=2 时取等号， 所以 △ABC 周长的最大值为6.

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