题目

如图1，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴相交于点C，连结BC，点P为抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线l，交直线BC于点G，交x轴于点E． （1） 求抛物线的表达式； （2） 当P位于y轴右边的抛物线上运动时，过点C作CF⊥直线l，F为垂足，当点P运动到何处时，以P，C，F为顶点的三角形与△OBC相似？并求出此时点P的坐标； （3） 如图2，当点P在位于直线BC上方的抛物线上运动时，连结PC，PB，请问△PBC的面积S能否取得最大值？若能，请求出最大面积S，并求出此时点P的坐标，若不能，请说明理由． 答案： 将点A（-1，0），B（4，0）的坐标代入函数的表达式得： {−1−b+c＝0−16+4b+c＝0 ， 解得：b=3，c=4． 抛物线的解析式为y=-x2+3x+4． 如图1所示： ∵令x=0得y=4， ∴OC=4． ∴OC=OB． ∵∠CFP=∠COB=90°， ∴FC=PF时，以P，C，F为顶点的三角形与△OBC相似． 设点P的坐标为（a，-a2+3a+4）（a＞0）． 则CF=a，PF=|-a2+3a+4-4|=|a2-3a|． ∴|a2-3a|=a． 解得：a=2，a=4． ∴点P的坐标为（2，6）或（4，0）． 如图2所示：连接EC． 设点P的坐标为（a，-a2+3a+4）．则OE=a，PE=-a2+3a+4，EB=4-a． ∵S四边形PCEB= 12 OB•PE= 12 ×4（-a2+3a+4），S△CEB= 12 EB•OC= 12 ×4×（4-a）， ∴S△PBC=S四边形PCEB-S△CEB=2（-a2+3a+4）-2（4-a）=-2a2+8a． ∵a=-2＜0， ∴当a=2时，△PBC的面积S有最大值． ∴P（2，6），△PBC的面积的最大值为8．

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