题目

如图，在中，对角线AC的垂直平分线分别与AD、AC、BC交于点E、O、F． （1） 求证：四边形AFCE是菱形； （2） 若 ， ， 求四边形AFCE的面积． 答案： 证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC， ∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO，∵EF垂直平分AC，∴OA=OC，EA=EC，在△AOE和△COF中，{∠EAO=∠FCOOA=OC∠AEO=∠CFO，∴△AOE≌△COF（AAS），∴OE=OF，∴四边形AFCE为平行四边形，∵EA=EC，∴平行四边形AFCE是菱形； 解：由（1）四边形AFCE是菱形，∴EF=2OF=2OE，OC=12AC=12×10=5，∵AC⊥EF，∴∠COF=90°，∴sin∠OCF=OFCF=35，∴设OF=3k，则CF=5k，由勾股定理，得（5k）2=（3k）2+52，解得：k=54，∴OF=3k=154，∴EF=2OF=152，∴S菱形ADCE=12AC⋅EF=12×152×10=752，答：四边形AFCE的面积为752．

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