题目

如图所示，倾角为θ=30°的传送带以速率v=12m/s顺时针匀速运行，传送带与足够长光滑水平面在B处平滑连接，一质量为m0=1kg的木块静止于B处。现有4个相同的、质量均为m=3kg的小物块，每隔t0=0.2s依次从传送带的顶端A点以初速度v0=2m/s开始沿传送带向下运动，它们与传送带间的动摩擦因数 。已知第1个小物块运动到B点时将与木块相碰，且在它从A运动到B的过程中，传送带刚好转动一圈。不计小物块、木块及传送带轮子的大小，所有的碰撞均为弹性正碰且不考虑碰撞的时间，重力加速度取g=10m/s2。求： （1） 第1个小物块刚放上传送带A点时加速度的大小； （2） 传送带与第1个小物块间因摩擦产生的热量Q； （3） 最终第1、2个小物块间的距离x12与第2、3个小物块间的距离x23之比。 答案： 解：第1个小物块刚放上传送带A点时，由牛顿第二定律 μmgcos30°+mgsin30°=ma 解得加速度的大小 a=μgcos30°+gsin30°=8m/s2 解：第1个小物块与传送带达到共同速度时 v=v0+at1 解得 t1=v−v0a=12−28s=1.25s 达到共同速度后一起做匀速直线运动，设再经过时间t2第1个小物块运动到B点，则 v(1.25s+t2)=2(v2−v022a+vt2) 解得 t2=−524s 说明第1个小物块运动到B点时，没达到与传送带有共同速度，设第1个小物块运动到B点时一直匀加速运动时间为t3，则 2(v0t3+12at32)=vt3 解得 t3=1s 则第1个小物块运动 x1=v0t3+12at32=6m 传送带运动 x2=vt3=12m 传送带与第1个小物块间因摩擦产生的热量 Q=f×Δx=μmgcos30°×(x2−x1)=54J 解：第1个小物块运动到传送带底端时速度 v'=at3=8m/s 第1个小物块与木块弹性碰撞，由动量守恒定律和机械能守恒定律 mv'=m0v''+mv1 ， 12mv'2=12m0v''2+12mv12 解得 v1=4m/s ， v"=12m/s 或 v1=8m/s ， v"=0 （不符合题意，舍去） 则第1个小物块此后以4m/s的速度匀速直线运动。 第2个小物块运动到传送带底端时速度为8m/s，此时第1个小物块运动的位移 x1'=v1t0=4×0.2m=0.8m 第2个小物块与第1个小物块弹性碰撞，第2个小物块碰后速度 v2' ，第1个小物块碰后速度 v1' ，由动量守恒定律和机械能守恒定律 mv'+mv1=mv2'+mv1' ， 12mv'+12mv12=12mv2'2+12mv1'2 解得 v2'=8m/s ， v1'=4m/s 可知第3、4个小物块以后不再相碰撞，第3个小物块到传送带底端时，第2、3个小物块间的距离 x23=v2't0=8×0.2m=1.6m 第1、2个小物块间的距离 x12=x1'=0.8m 则最终第1、2个小物块间的距离x12与第2、3个小物块间的距离x23之比为 x12：x23=1：2

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