题目

“鲁布·戈德堡机械”是用迂回曲折的连锁机械反应完成一些简单动作的游戏。图为某兴趣小组设计的该类游戏装置：是半径为2L的光滑四分之一圆弧轨道，其末端B水平；在轨道末端等高处有一质量为m的“”形小盒C（可视为质点），小盒C与质量为3m、大小可忽略的物块D通过光滑定滑轮用轻绳相连，左侧滑轮与小盒C之间的绳长为2L；物块D压在质量为m的木板E左端，木板E上表面光滑、下表面与水平桌面间动摩擦因数（最大静摩擦力等于滑动摩擦力），木板E右端到桌子右边缘固定挡板（厚度不计）的距离为L；质量为m且粗细均匀的细杆F通过桌子右边缘的光滑定滑轮用轻绳与木板E相连，木板E与定滑轮间轻绳水平，细杆F下端到地面的距离也为L；质量为的圆环（可视为质点）套在细杆F上端，环与杆之间滑动摩擦力和最大静摩擦力相等，大小为。开始时所有装置均静止，现将一质量为m的小球（可视为质点）从圆弧轨道顶端A处由静止释放，小球进入小盒C时刚好能被卡住（作用时间很短可不计），然后带动后面的装置运动，木板E与挡板相撞、细杆F与地面相撞均以原速率反弹，最终圆环刚好到达细杆的底部。不计空气阻力，重力加速度为g，求： （1） 小球与小盒C相撞后瞬间，与小盒C相连的绳子上的拉力大小； （2） 细杆F的长度。 答案： 解：设小球滑出圆弧轨道时的速度为v0，刚被卡住瞬间速度为v，与小盒C相连的绳子上的拉力大小为T。对小球从A到B，由动能定理得mg⋅2L=12mv02小球撞击C瞬间，二者组成的系统动量守恒，由动量守恒定律得mv0=(m+m)v对小球和C组成的系统，由圆周运动公式可知，与小盒C相连的绳子上的拉力大小T−2mg=2mv22L解得T=3mg 解：由（1）知，当小球刚被小盒C卡住时，物块D对木板E压力为零，此时桌面对木板E的最大静摩擦力f=umg由f<(m+12m)g知，木板E将向右运动；木板E向右运动与挡板相撞前，将木板E、圆环和细杆F视为一个整体，设加速度大小为a；由牛顿第二定律(m+12m)g−umg=(m+m+12m)a解得a=25g对圆环由牛顿第二定律12mg−f′=12ma可知圆环所受摩擦力f′=310mg<f滑=76mg所以木板E向右运动与挡板相撞前，圆环与细杆F之间未发生相对滑动。假设第一次相撞的速度大小为v1，则由匀变速直运动推导公式v12=2aL由分析知，第一次相撞后细杆F与圆环发生相对滑动，假设相撞后，圆环向下做匀减速直线运动的加速度大小为a1，木板E向左、细杆F向上做匀减速直线运动的加速度大小为a2，则对圆环由牛顿第二定律76mg−12mg=12ma1对木板E向左、细杆F整体由牛顿第二定律76mg+mg+μmg=(m+m)a2解得a1=43ga2=43g因为a1、a2大小相等，则圆环与木板E、细杆F同时减速为零，且圆环与细杆F的位移大小相等，方向相反。设第一次相撞后，木板E向左的最大位移为L1，则有匀变速直线运动推导公式v12=2a1L1解得L1=310L同理可得：第二次相撞后，木板E向左的最大位移为L2=310L1=(310)2L第n次碰撞后，木板E向左的最大位移为Ln=(310)nL则第一次相撞后，圆环与细杆F的最大相对位移Δx1=2L1同理可得：第二次相撞后，圆环与细杆F的最大相对位移Δx2=2L2第n次相撞后，圆环与细杆F的最大相对位移Δxn=2Ln设细杆F的长度为x，则x=Δx1+Δx2+Δx3+⋯=2[310L+(310)2L+(310)3L+⋯]=2⋅3101−310L=67L

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