题目

如图为遥控玩具小车比赛轨道的示意图，第一部分由斜面轨道AB、圆弧轨道BCD与斜面轨道DE拼接而成，圆弧BCD的圆心恰在O点，第二部分由水平轨道EF、圆形轨道FGF与特殊材料水平轨道FH组成。直线轨道与圆弧轨道平滑相切。圆轨道F处前后略有错开，小车可从一侧滑上再从另一侧滑出，已知轨道AB与DE的倾角均为θ＝37°，长度均为L＝2m，轨道FGF的半径r＝1m，玩具车在AB与DE轨道上受到的阻力为压力的0.25，在FH轨道上受到的阻力为压力的1.5倍。其余轨道摩擦阻力及空气阻力均不计。已知玩具车输出功率恒为P＝10W，电动机工作时间可调控，玩具车质量m＝1kg，可视为质点。sin37°＝0.6，cos37°＝0.8．求： （1） 玩具车以多大初速度从A点弹出，恰好能沿轨道自行上滑到C点； （2） 玩具车以恒定功率P＝10W从A点由静止启动，电动机至少工作多长时间才能完成完整的圆周运动； （3） 已知轨道“受力因子k”是车对轨道的压力与车重力的比值，要求满足在圆周内k≤9且玩具车能无动力完成完整比赛，求玩具车的停止点H与F点的可能距离。 答案： 解：玩具车恰好能沿轨道自行上滑到C点时，速度刚好为0，根据动能定理得﹣mgR﹣0.25mgcos37°•L＝0﹣ 12mv02 由题图可知 Lsin37°＝Rcos37° 联立解得 v0＝ 38 m/s 答：玩具车以 38 m/s的初速度从A点弹出，恰好能沿轨道自行上滑到C点 解：玩具车刚好通过圆轨道最高点G时，由重力恰好提供向心力，由牛顿第二定律得：mg＝m vG2r 从A点运动到G点的过程，由动能定理得：Pt﹣mg•2r﹣2×0.25mgcos37°•L＝ 12mvG2 ﹣0 联立解得发动机工作的时间 t＝3.3s 答：玩具车以恒定功率P＝10W从A点由静止启动，电动机至少工作3.3s时间才能完成完整的圆周运动 解：玩具车在恰好完成完整比赛的条件下，从最高点G运动到F的过程中，由机械能守恒定律得mg•2r+ 12mvG2 ＝ 12mvF2 在F点，对玩具车，由牛顿第二定律得 FN﹣mg＝m vF2r 解得 FN＝6mg 由牛顿第三定律知玩具车对轨道的压力大小为 FN′＝FN＝6mg 此时受力因子 k＝ FN'mg ＝6，符合题意。 F点运动到H点的过程，由动能定理得﹣1.5mgxHF＝0﹣ 12mvF2 解得 xHF＝ 53 m 当k＝9时，在F点，有 9mg﹣mg＝m vF'2r F点运动到H点的过程，由动能定理得﹣1.5mgx′HF＝0﹣ 12mv'F2 解得 x′HF＝ 83 m 则有 53 m≤xHF≤ 83 m 答：玩具车的停止点H与F点的可能距离为 53 m≤xHF≤ 83 m。

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