题目

已知：在中，，都是的半径，过作交于点，过点作的切线交的延长线于点．（1）如图1，求证：；（2）如图2，点在上，连接并延长交于点，连接，若，求证：四边形是平行四边形；（3）如图3，在（2）的条件下，点在上，连接，且，点在上，连接，，交于点，且，若，，求的长．答案：证明：如图1，连接 OC ∵OB=OC ∴∠B=∠BCO ∵BC//BA ∴∠BCO=∠COD ∴∠B=∠COD ∵CD 切 ⊙O 于点 C ∴CD⊥OC ∴∠DCO=90° ∴∠D+∠COD=90° ∴∠B+∠D=90° 证明：如图2，连接 OC ∵∠BFC=45° ， ∠BFC=12∠BOC ∴∠BOC=2∠BFC=2×45°=90° ∴∠BOC=∠DCO=90° ∴OB//CD ∵BC//OD ∴ 四边形 BCDO 是平行四边形．解：如图3，连接 OC ，作 ∠BOG 平分交 DC 的延长线于点 P ，延长 GO 交 BM 于点 Q 令 ∠CEO=α ， OE=m ，则 ∠BOG=2α ， ∠POG=∠BOP=α=∠CEO ， OB=m+10=OC ∵ 四边形 BCDO 是平行四边形 ∴CD=OB=m+10 ， OB//CD ∴CG=m+10−5=m+5 ∠BOP=∠P=α=∠CEO ∵∠EOC=90° ， ∠OCP=180°−∠DCO=90° ， ∴∠EOC=∠OCP 又 ∵OC=OC ∴ΔCOE≅ΔOCP ∴CP=OE=m ∵∠GOP=α=∠P ∴OG=PG=CG+CP=m+5+m=2m+5 在 RtΔCOG 中， ∵CG2+OC2=OG2 ∴(m+5)2+(m+10)2=(2m+5)2 解得 m1=10 ， m2=−5 （舍） ∴OB=DC=20 ， OG=25 ． ∠M=∠BFC=45° ∠MNQ=∠CNG=45° ∴∠BQN=∠M+∠MNQ=90° ∵OB//CD ∴∠CGO=∠BOQ ∴sin∠BOQ=sin∠CGO 在 RtΔOCG 中， sin∠CGO=OCOG=2025=45 在 RtΔBOQ 中， sin∠BOQ=BQOB=BQ20 ∴BQ20=45 ∴BQ=16 ∵OQ⊥BM ∴BM=2BQ=32 ．

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