题目

抛物线y=-x2+bx+c经过点A、B、C，已知A（-1，0），C（0，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当△BDC的面积最大时，求点P的坐标； （3）如图2，抛物线顶点为E，EF⊥x轴于F点，M（m，0）是x轴上一动点，N是线段EF上一点，若∠MNC=90°，请指出实数m的变化范围，并说明理由． 答案：解：（1）由题意得：，解得：， ∴抛物线解析式为； （2）令，∴x1= -1，x2=3，即B（3，0）， 设直线BC的解析式为y=kx+b′， ∴，解得：，∴直线BC的解析式为， 设P（a，3-a），则D（a，-a2+2a+3），∴PD=（-a2+2a+3）-（3-a）=-a2+3a， ∴S△BDC=S△PDC+S△PDB ， ∴当时，△BDC的面积最大，此时P（，）； （3）由（1），y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，∴OF=1，EF=4，OC=3， 过C作CH⊥EF于H点，则CH=EH=1， 当M在EF左侧时，∵∠MNC=90°，则△MNF∽△NCH，∴， 设FN=n，则NH=3-n，∴，即n2-3n-m+1=0， 关于n的方程有解，△=（-3）2-4（-m+1）≥0，得m≥， 当M在EF右侧时，Rt△CHE中，CH=EH=1，∠CEH=45°，即∠CEF=45°， 作EM⊥CE交x轴于点M，则∠FEM=45°，∵FM=EF=4，∴OM=5， 即N为点E时，OM=5，∴m≤5， 综上，m的变化范围为：≤m≤5．

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