题目

已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x+a|+|2x﹣b|的最小值为1． （1） 求证：2a+b=2； （2） 若a+2b≥tab恒成立，求实数t的最大值． 答案： 解：法一：f（x）=|x+a|+|2x﹣b|=|x+a|+|x﹣ b2 |+|x﹣ b2 |， ∵|x+a|+|x﹣ b2 |≥|（x+a）﹣（x﹣ b2 ）|=a+ b2 且|x﹣ b2 |≥0，∴f（x）≥a+ b2 ，当x= b2 时取等号，即f（x）的最小值为a+ b2 ，∴a+ b2 =1，2a+b=2；法二：∵﹣a＜ b2 ，∴f（x）=|x+a|+|2x﹣b|= {−3x−a+b，x<−a−x+a+b，−a≤x<b23x+a−b，x≥b2 ，显然f（x）在（﹣∞， b2 ]上单调递减，f（x）在[ b2 ，+∞）上单调递增，∴f（x）的最小值为f（ b2 ）=a+ b2 ，∴a+ b2 =1，2a+b=2． 解：方法一：∵a+2b≥tab恒成立，∴ a+2bab ≥t恒成立， a+2bab = 1b + 2a =（ 1b + 2a ）（2a+b ）• 12 = 12 （1+4+ 2ab + 2ba ） ≥12(1+4+22ab⋅2ba)=92 ，当a=b= 23 时， a+2bab 取得最小值 92 ，∴ 92 ≥t，即实数t的最大值为 92 ；方法二：∵a+2b≥tab恒成立，∴ a+2bab ≥t恒成立，t≤ a+2bab = 1b + 2a 恒成立， 1b + 2a = 1b + 42a ≥ (1+2)2b+2a = 92 ，∴ 92 ≥t，即实数t的最大值为 92 ；方法三：∵a+2b≥tab恒成立，∴a+2（2﹣a）≥ta（2﹣a）恒成立，∴2ta2﹣（3+2t）a+4≥0恒成立，∴（3+2t）2﹣326≤0，∴ 12 ≤t≤ 92 ，实数t的最大值为 92

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