题目

已知函数. （1） 判断函数的奇偶性并证明； （2） 用定义证明：在区间上是单调递减函数. 答案： 解：函数f(x)=1x2+1是偶函数，证明如下：f(x)的定义域为R，定义域关于原点对称，对任意x∈R，都有f(−x)=1(−x)2+1=1x2+1=f(x)，所以函数f(x)是定义域R上的偶函数； 证明：任取x1、x2∈[0，+∞)，且x1<x2，则f(x1)−f(x2)=1x12+1−1x22+1=(x2−x1)(x2+x1)(x12+1)(x22+1)，因为0≤x1<x2，所以x2−x1>0，x2+x1>0，且x12+1>0，x22+1>0，所以f(x1)−f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以f(x)在区间[0，+∞)上是单调递减函数.

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