题目

已知平面上动点Q（x，y）到F（0，1）的距离比Q（x，y）到直线 的距离小1，记动点Q（x，y）的轨迹为曲线C． （1） 求曲线C的方程． （2） 设点P的坐标为（0，－1），过点P作曲线C的切线，切点为A，若过点P的直线m与曲线C交于M，N两点，证明： ． 答案： 解：Q（x，y），由题意，得 x2+(y−1)2=|y+2|−1 ， 化简得 x2=4y ，所以Q的轨迹方程C为 x2=4y 法二：定义法依题意Q（x，y）到F（0，1）的距离与Q（x，y）到直线y＝－1的距离相等，由抛物线定义知Q的 轨迹方程C为以F（0，1）为焦点以 y=−1 为准线的抛物线 所以Q的轨迹方程C为 x2=4y 证明：不妨设 A(t，t24)(t>0) ，因为 y=x24 ，所以 y′=x2 ， 从而直线PA的斜率为 t24+1t−0=t2 ，解得 t=2 ，即A（2，1）， 又F（0，1），所以 AF//x 轴．要使 ∠AFM=∠AFN ，只需 kFM+kFN=0 设直线m的方程为 y=kx−1 ，代入 x2=4y 并整理，得 x2−4kx+4=0 ． 首先， Δ=16(k2−1)>0 ，解得 k<−1 或 k>1 ． 其次，设M（ x1 ， y1 ），N（ x2 ， y2 ），则 x1+x2=4k，x1x2=4 kFM+kFN=y1−1x1+y2−1x2=x2(y1−1)+x1(y2−1)x1x2 =x2(kx1−2)+x1(kx2−2)x1x2 =2k−2(x1+x2)x1x2 =2k−24k4=0 故存在直线m，使得 ∠AFM=∠AFN ， 此时直线m的斜率的取值范围为 (−∞，−1)∪(1，+∞)

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