题目

背景：点A在反比例函数 的图象上， 轴于点B， 轴于点C，分别在射线 上取点 ，使得四边形 为正方形.如图1，点A在第一象限内，当 时，小李测得 . 探究：通过改变点A的位置，小李发现点D，A的横坐标之间存在函数关系.请帮助小李解决下列问题. （1） 求k的值. （2） 设点 的横坐标分别为 ，将z关于x的函数称为“Z函数”.如图2，小李画出了 时“Z函数”的图象. ①求这个“Z函数”的表达式. ②补画 时“Z函数”的图象，并写出这个函数的性质（两条即可）. ③过点 作一直线，与这个“Z函数”图象仅有一个交点，求该交点的横坐标. 答案： 解：由题意得， AB=AD=1 ， ∴ 点A的坐标是 (4,1) ，所以 k=4×1=4 解：①设点A坐标为 (x,1x) ，所以点D的横坐标为 z=x−4x ， 所以这个“Z函数”表达式为 z=x−4x ； ②画出的图象如图， 性质如下（答案不唯一）； （a）函数的图象是两个分支组成的，是两条曲线 （b）函数的图象关于直角坐标系的原点成中心对称. （c）当 x>0 时，函数值z随自变量x的增大而增大，当 x<0 时，函数值z随自变量x的增大面增大. ③第一种情况，当过点 （3,2） 的直线与x轴垂直时， x=3 ； 第二种情况，当过点 （3,2） 的直线与x轴不垂直时，设该直线的函数表达式为 z'=mx+b(m≠0) ， ∴2=3m+b ，即 b=−3m+2 ， ∴z'=mx−3m+2 ， 由题意得， x−4x=mx−3m+2 ∴x2−4=mx2−3mx+2x ， ∴(m−1)x2+(2−3m)x+4=0 （a）当 m=1 时， −x+4=0 ，解得 x=4 ； （b）当 m≠1 时， b2−4ac=(2−3m)2−4(m−1)×4=9m2−28m+20=0 ， 解得 m1=2,m2=109 ， 当 m1=2 时， x2−4x+4=0，(x−2)2=0 .解得 x1=x2=2 ； 当 m2=109 时， 19x2−43x+4=0,x2−12x+36=0,(x−6)2=0 ，解 x1=x2=6 所以x的值为 2,3,4,6

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