题目

已知椭圆 的焦距为 ，长轴长为 ． （1） 求椭圆 的标准方程； （2） 直线 与椭圆 交于 A ， B两点．若 ， 求 的值． 答案： 解：∵椭圆 C：x2a2+y2b2=1(a>b>0) 的焦距为 23 ，长轴长为 4 ，∴ c=3 ， a=2 ，∴ b=1 ，∴椭圆C的标准方程为 x24+y2=1 解：设 A(x1，y1)，B(x2，y2) ，将直线AB的方程为 y=x+m 代入椭圆方程得5x2+8mx+4m2−4=0 ， 则 x1+x2=−8m5 ， x1⋅x2=4m2−45 ①.又 Δ=64m2−20(4m2−4)>0 ， m2<5 .由OA⊥OB，知 x1x2+y1y2=x1x2+(x1+m)(x2+m) =2x1x2+m(x1+x2)+m2=0 将①代入，得 m=±2105 ，又∵满足 m2<5 ，∴ m=±2105 ．

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