题目

如图，顶点M在y轴上的抛物线与直线y=x+1相交于A，B两点，且点A在x轴上，点B的横坐标为2，连结AM、BM． （1） 求抛物线的函数关系式； （2） 判断△ABM的形状，并说明理由； （3） 把抛物线与直线y=x的交点称为抛物线的不动点．若将（1）中抛物线平移，使其顶点为（m，2m），当m满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点 答案： 解：∵A点为直线y=x+1与x轴的交点，∴A（﹣1，0），又B点横坐标为2，代入y=x+1可求得y=3，∴B（2，3），∵抛物线顶点在y轴上，∴可设抛物线解析式为y=ax2+c，把A、B两点坐标代入可得 {a+c=04a+c=3 ，解得 {a=1c=−1 ，∴抛物线解析式为y=x2﹣1； 解：△ABM为直角三角形．理由如：由（1）抛物线解析式为y=x2﹣1可知M点坐标为（0，﹣1），∴AM= 2 ，AB= 32+32 = 18 =3 2 ，BM= 22+[3−(−1)]2 =2 5 ，∴AM2+AB2=2+18=20=BM2，∴△ABM为直角三角形 解：当抛物线y=x2﹣1平移后顶点坐标为（m，2m）时，其解析式为y=（x﹣m）2+2m，即y=x2﹣2mx+m2+2m，联立y=x，可得 {y=xy=x2−2mx+m2+2m ，消去y整理可得x2﹣（2m+1）x+m2+2m=0，∵平移后的抛物线总有不动点，∴方程x2﹣（2m+1）x+m2+2m=0总有实数根，∴△≥0，即（2m+1）2﹣4（m2+2m）≥0，解得m≤ 14 ，即当m≤ 14 时，平移后的抛物线总有不动点

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