题目

二次函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）=2x，且f（0）=1． （1） 求f（x）的解析式； （2） 设g（x）=2x+m，若对任意的x∈[﹣1，1]，f（x）＞g（x）恒成立，求m的取值范围． 答案： 解：设为f（x）=ax2+bx+c， 由题可知：f（0）=1，解得：c=1，由 f（x+1）﹣f（x）=2x．可知：[a（x+1）2+b（x+1）+1]﹣（ax2+bx+1）=2x化简得：2ax+a+b=2x，所以：a=1，b=﹣1．∴f（x）=x2﹣x+1 解：不等式 f（x）＞2x+m，可化简为 x2﹣x+1＞2x+m 即：x2﹣3x+1﹣m＞0．设h（x）=x2﹣3x+1﹣m，则其对称轴为 x= 32 ，∴h（x）在[﹣1，1]上是单调递减函数．因此只需h（x）的最小值大于零即可，∴g（1）＞0．代入得：1﹣3+1﹣m＞0解得：m＜﹣1所以实数 m的取值范围是：m＜﹣1（备注：此题分离参数也可）

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