题目

如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB= PD． （Ⅰ）证明：平面PQC⊥平面DCQ（Ⅱ）求二面角Q﹣BP﹣C的余弦值． 答案：解：如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D﹣xyz； （Ⅰ）依题意有Q（1，1，0），C（0，0，1），P（0，2，0）；则 DQ→ =（1，1，0）， DC→ =（0，0，1）， PQ→ =（1，﹣1，0），所以 PQ→ • DQ→ =0， PQ→ • DC→ =0；即PQ⊥DQ，PQ⊥DC，故PQ⊥平面DCQ，又PQ⊂平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ；（Ⅱ）依题意，有B（1，0，1）， CB→ =（1，0，0）， BP→ =（﹣1，2，﹣1）；设 n→ =（x，y，z）是平面的PBC法向量，则 {n→·CB→=0n→·BP→=0 即 {x=0−x+2y−z=0 ，因此可取 n→ =（0，﹣1，﹣2）；设 π→ 是平面PBQ的法向量，则 {m→·BP→=0m→·PQ→=0 ，可取 π→ =（1，1，1），所以cos＜ π→ ， n→ ＞=﹣ 155 ，故二面角角Q﹣BP﹣C的余弦值为﹣ 155 ．

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