题目

在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中．若问题中的三角形存在，求出a的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在 ，它的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ， ，  ▲  ？ 注：如果选择多个条件分别解签．按第一个解答计分． 答案：解：由 sinA+3cosA=0 得 tanA=−3 ， 因为 0<A<π ，所以 A=23π ， 选①: 由题意得： S△ABC=12bcsinA=12⋅3c⋅32=332 ，解得： c=23 ， 由余弦定理可得： a2=b2+c2−2bc⋅cosA=3+12−2×3×23×(−12)=21 , 所以 a=21 ，所以问题中的三角形存在，且 a=21 ， 选②： 因为 sinA=3sinC ， 由正弦定理可得 a=3c ， 由余弦定理得： a2=b2+c2−2bc⋅cosA=3+(a3)2−2×3×a3×(−12) ， 即 23a2−a−3=0 ，解得： a=3 或 a=−32 （舍） 所以存在问题中的三角形，且 a=3 选③： 由 sinC=22 得： C=π4 ，故 B=π12 ， 由正弦定理得： asinA=bsinB 即 asin2π3=3sinπ12 ，所以 a=32sinπ12 ， 因为 sinπ12=sin(π3−π4)=sinπ3cosπ4−cosπ3sinπ4=6−24 ， 所以 a=32sinπ12=32×6−24=36+322 ， 所以问题中的三角形存在，且 a=36+322 .

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