题目

如图，在四棱锥 中，平面 平面 ， ， ， ， ， ， . （Ⅰ）求证： 平面 ； （Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值. 答案：解：（Ⅰ）因为，平面 PAD⊥ 平面 ABCD ， AB⊥AD ， 所以 AB⊥ 平面 PAD ，所以 AB⊥PD ， 又因为 PA⊥PD ，所以 PD⊥ 平面 PAB ； （Ⅱ）取 AD 的中点 O ，连结 PO ， CO ， 因为 PA=PD ，所以 PO⊥AD . 又因为 PO⊂ 平面 PAD ，平面 PAD⊥ 平面 ABCD ， 所以 PO⊥ 平面 ABCD . 因为 CO⊂ 平面 ABCD ，所以 PO⊥CO . 因为 AC=CD ，所以 CO⊥AD . 如图建立空间直角坐标系 O−xyz ，由题意得， A(0,1,0) ， B(1,1,0) ， C(2,0,0) ， D(0,−1,0) ， P(0,0,1) . 设平面 PCD 的法向量为 n⇀=(x,y,z) ，则 {n⇀⋅PD⇀=0n⇀⋅PC⇀=0 ，即 {−y−z=02x−z=0 ， 令 z=2 ，则 x=1 ， y=−2 . 所以 n⇀=(1,−2,2) . 又 PB⇀=(1,1,−1) ，所以 cos〈n⇀,PB⇀〉=n⇀⋅PB⇀|n⇀||PB⇀|=−33 . 所以直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值为 33 .

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