题目

在正方形中，E是边上任意一点，连接．将绕点A顺时针旋转，所在的直线与交与点F，连接．（1）探究：以A为圆心，为半径作圆，交的延长线于点G，连接（如图1）．求证：；（2）应用：点E在边上移动，当时，直线与、的延长线分别交于点M、N．（如图2）．求证：；（3）类比：将正方形改为长与宽不相等的矩形，在（2）的条件下，其余条件不变（如图3），直接写出线段、、之间的数量关系．答案：解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD=AD，∠BAD=∠ABC=∠C=∠D=90°， ∴∠ABG=90°， ∵AG=AE，在△ABG和△ADE中， {AG=AEAB=AD ， ∴△ABG≌△ADE（HL） ∴∠BAG=∠DAE，BG=DE，由旋转得∠EAF=45°， ∴∠BAF+∠DAE=45°， ∴∠BAF+∠BAG=45°，即∠GAF=45°，在△GAF和△EAF中， {AG=AE∠GAF=∠EAFAF=AF ， ∴△GAF≌△EAF（SAS）， ∴GF=EF， ∵BG=DE，且BF+BG=GF， ∴BF+DE=EF．解：连接GM， ∵EC=CF，∠C=90°， ∴∠CEF=∠CFE=45°， ∴∠DEN=∠CEF=45°，∠BFM=∠CFE=45°， ∴△CEF、△DEN、△BMF均为等腰直角三角形， ∴DN=DE，BF=BM，∠BMF=∠N=45°， ∵BC=CD，EC=CF， ∴BF=DE=DN=BM， ∵AB=AD， ∴AB+BM=AD+DN，即AM=AN，在△GAM和△EAN中， {AM=AN∠BAG=∠DAEAG=AE ， ∴△GAM≌△EAN（SAS）， ∴∠BMG=∠N=45°，MG=NE， ∴∠GMF=∠BMG+∠BMF=90°，在Rt△GMF中，GF2=MF2+GM2， ∵GF=EF，GM=NE， ∴ EF2=MF2+NE2 ． EF2=2BF2+2DE2

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