题目

南开园自然环境清幽，栖居着多种鸟类，热爱动物的南鸢同学独爱其中形貌雅致的蓝膀香鹊，于是她计划与生物兴趣小组的同学一起在翔字楼前广场一角架设一台可转动镜头的相机，希望可以捕捉到这种可爱鸟儿的飘逸瞬间，南同学设计了以下草图，为简化模型，假设广场形状为正方形，边长为1，已知相机架设于A点处，其可捕捉到图象的角度为45°，即 ，其中 分别在边 上，记 . （1） 南鸢同学的数学老师很欣赏她的计划，并根据她的设计草图编制了此刻你正在思考的这道期中考试试题，设AC与PQ相交于点R，当 时，请你求出： （i）线段DQ的长为多少？ （ii）线段AR的长为多少？ （2） 为节省能源，南鸢同学计划在广场上人员较多的时段关闭相机镜头的自动转动功能，为使相机能够捕捉到的面积(即四边形 的面积，记为S)最大，θ应取何值？S的最大值为多少？ 答案： 解：如图建立平面直角坐标系，由于 θ=30∘ ， AB=AD=BC=CD=1 ， 所以 A(0,0),C(1,1),B(1,0),D(0,1) ， 由 tanθ=BPAB ，得 BP=ABtan30°=33 ，所以 P(1,33) , 因为 ∠PAQ=45∘ ， ∠BAP=30° ，所以 ∠DAQ=15° ， tan15°=tan(45°−30°)=tan45°−tan30°1+tan45°tan30°=2−3 在 Rt△DAQ 中， tan∠DAQ=DQAD ，则 DQ=ADtan∠DAQ=tan15°=2−3 ， 所以 Q(2−3,1) ， 设直线 PQ 为 y=kx+m ，则 {k+m=33(2−3)k+m=1 ，解得 {k=−33m=233 ， 所以直线 PQ 为 y=−33x+233 ， 直线 AC 为 y=x ， 由 {y=−33x+233y=x ，得 {x=3−1y=3−1 ，即 R(3−1,3−1) ， 所以 AR=(3−1)2+(3−1)2=2(3−1)=6−2 BP=ABtanθ=tanθ ， DQ=ADtan(π4−θ)=tan(π4−θ) ， 所以 S△ABP=12AB⋅BP=12tanθ,S△ADQ=12AD⋅DQ=12tan(π4−θ) ， 所以 S=1−S△ABP−S△ADQ=1−12tanθ−12tan(π4−θ) ， =1−sinθ2cosθ−cosθ−sinθ2(cosθ+sinθ) =1−12cos2θ+2cosθsinθ =1−11+cos2θ+sin2θ =1−12sin(2θ+π4)+1 ≤1−12+1=2−2 ，当且仅当 2θ+π4=π2 ，即 θ=π8 时取等号， 所以当 θ=π8 时，S取得最大值，最大值为 2−2

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