题目

已知函数 ， （1） 讨论 在 上的单调性. （2） 当 时，若 在 上的最大值为 ，讨论：函数 在 内的零点个数. 答案： 解： f′(x)=asinx+axcosx=a(sinx+xcosx) 当 x∈(0,π2) 时， sinx+xcosx>0 ∴ 当 a>0 ， x∈(0,π2) 时， f′(x)>0 ；当 a<0 ， x∈(0,π2) 时， f′(x)<0 ∴ 当 a>0 时， f(x) 在 [0,π2] 上单调递增；当 a<0 时， f(x) 在 [0,π2] 上单调递减 解：由（1）知，当 a>0 时， f(x) 在 [0,π2] 上单调递增 ∴f(x)max=f(π2)=π2asinπ2−12a=π−12a=π−1 ，解得： a=2 ∴f(x)=2xsinx−1     ∴f′(x)=2(sinx+xcosx) ∵f(x) 在 [0,π2] 上单调递增， f(0)=0−1=−1<0 ， f(π2)=π−1>0 ∴f(x) 在 (0,π2) 内有且仅有 1 个零点 令 g(x)=sinx+xcosx ， x∈[π2,π) g′(x)=cosx+cosx−xsinx=2cosx−xsinx 当 x∈[π2,π) 时， cosx≤0 ， sinx>0 ， x>0     ∴g′(x)<0 ∴g(x) 在 [π2,π) 内单调递减 又 g(π2)=sinπ2+π2cosπ2=1>0 ， g(π)=sinπ+πcosπ=−π<0 ∴∃x0∈(π2,π) ，使得 g(x0)=0 ∴ 当 x∈[π2,x0) 时， g(x)>0 ，即 f′(x)>0 ；当 x∈(x0,π) 时， g(x)<0 ，即 f′(x)<0 ∴f(x) 在 [π2,x0) 上单调递增，在 (x0,π) 上单调递减 ∵f(π2)=π−1>0     ∴f(x) 在 [π2,x0) 上无零点且 f(x0)>0 又 f(π)=2πsinπ−1=−1<0 ∴f(x) 在 (x0,π) 上有且仅有 1 个零点 综上所述： f(x) 在 (0,π) 上共有 2 个零点

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