题目

如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-（x-a）（x-4）（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点． （1） 若D点坐标为（ ），求抛物线的解析式和点C的坐标； （2） 若点M为抛物线对称轴上一点，且点M的纵坐标为a，点N为抛物线在x轴上方一点，若以C、B、M、N为顶点的四边形为平行四边形时，求a的值； （3） 直线y=2x+b与（1）中的抛物线交于点D、E（如图2），将（1）中的抛物线沿着该直线方向进行平移，平移后抛物线的顶点为D′，与直线的另一个交点为E′，与x轴的交点为B′，在平移的过程中，求D′E′的长度；当∠E′D′B′=90°时，求点B′的坐标． 答案： 解：依题意得： 254 =-（ 32 -a）（ 32 -4）． 解得a=-1． ∴抛物线解析式为：y=-（x+1）（x-4）或y=-x2+3x+4． ∴C（0，4）． 解：由题意知：A（a，0），B（4，0），C（0，-4a）． 对称轴为直线x= a+42 ，则M（ a+42 ，a）． ①MN∥BC且MN=BC，根据点的平移特征可知N（ a−42 ，-3a）． 则-3a=-（ a−42 -a）（ a−42 -4）． 解得：a=-2±2 13 （舍去正值）． ②当BC为对角线时，设N（x，y）． 根据平行四边形的对角线互相平分可得： {a+42+x=4a+y=−4a ． 解得 {x=4−a2y=−5a ． 则-5a=-（ a−42 -a）（ a−42 -4）． 解得a= 6±2213 ．（舍去正值） ∴a1=-2-2 13 ，a2= 6−2213 ． 解：把D（ 32，254 ）代入y=2x+b得到：2× 32 +b= 254 ．则b= 134 ． 故直线解析式为：y=2x+ 134 ． 联立 {y=2x+134y=−x2+3x+4 ． 解得 {x1=32y1=254 （舍去）， {x2=−12y2=94 ． ∴E（- 12 ， 94 ） ∴DE=2 5 ． 根据抛物线的平移规律，则平移后线段D′E′始终等于2 5 ． 设平移后的D′（m，2m+ 134 ），则E′（m-2，2m- 34 ）． 平移后抛物线的解析式为：y=-（x-m）2+2m+ 134 ． 则D′B′：y=- 12 x+n过点（m，2m+ 134 ）， ∴y=- 12 x+ 52 m+ 134 ，则B′（5m+ 132 ，0）． ∴- 12 （5m+ 132 ）+ 52 m+ 134 =0． 解得m1=- 32 ，m2=- 138 ． ∴B′1（-1，0），B′2（- 138 ，0）（与D′重合，舍去）． 综上所述，B′（-1，0）．

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