题目

下面是嘉琪同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程． 已知：如图1，直线l和直线l外一点P． 求作：直线 ，使直线 直线l． 作法：如图2， ①在直线l上取一点A，连接 ； ②作 的垂直平分线 ，分别交直线l，线段 于点B，O； ③以O为圆心， 长为半径作弧，交直线 于另一点Q； ④作直线 ，所以直线 为所求作的直线． 根据上述作图过程，回答问题： （1） 用直尺和圆规，补全图2中的图形（保留作图痕迹）； （2） 完成下面的证明： 证明：∵直线 是 的垂直平分线， ∴  ▲  ＝  ▲  ， ． ∵  ▲  ＝  ▲  ， ∴ ． ∴  ▲  ＝  ▲  ． ∴ （  ▲  ）（填推理的依据）． 答案： 解：如图，直线 PQ 即为所求； ∵直线 MN 是 PA 的垂直平分线， ∴ PO=AO，∠POQ=∠AOB=90° ， ∵ OQ=OB ， ∴ △POQ≌△AOB(SAS) ， ∴ ∠QPO=∠BAO ，（或 ∠OQP=∠OBA ） ∴ PQ//l （ 内错角相等，两直线平行 ）．

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