题目

已知函数 . （1） 若对于任意的 ， 恒成立，求实数b的取值范围； （2） 记 在 内的最大值为M，最小值为m，若 有解，求n的取值范围. 答案： 解：∵ f(x)>0 在区间 (1,2) 上恒成立， ∴ bx>−5−x2 在 x∈(1,2) 上恒成立，即 −b<(5x+x)min . 设 g(x)=5x+x ，该函数在 x∈(0,5) 时是单调递减函数， 所以 g(x) 在 x∈(1,2) 时也是单调递减函数， 因此 g(x)min=g(2)=52+2=92 ， 所以有 −b<92⇒b>−92 解：∵ n≥ M −m 有解，∴ n≥(M−m)min . ①当 −b2≥2 ，即 b≤−4 时， M−m =f(1) −f(2)= −3−b≥1 .. ②当 −b2≤1 ，即 b≥−2 时， M−m = f(2)− f(1)= 3+b≥1 .. ③当 1<−b2<2 ，即 −4<b<−2 时， 所以 m=f(−b2)=−14b2+5 当 2−(−12b)≥−12b−1 时，即 −3≤b<−2 时， M=f(2)=9+2b ，所以 M−m=9+2b−(−14b2+5)=14(b+4)2≥14 ； 当 2−(−12b)<−12b−1 时，即 −4<b<−3 时， M=f(1)=6+b ，所以 M−m=6+b−(−14b2+5)=14(b+2)2≥14 ， 综上所述： (M−m)min=14 ， 所以 n≥14

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