题目

在平面直角坐标 中， ， ，点 是平面上一点，使 的周长为 . （1） 求点 的轨迹方程； （2） 求 的最大值. 答案： 解：由题知 |PF1|+|PF2|+|F1F2|=16 ， |F1F2|=6 ， ∴|PF1|+|PF2|=10>|F1F2| ， 由椭圆的定义可知，动点 P 的轨迹是以点 F1 、 F2 为焦点的椭圆（去掉左右端点）， 设动点 P 的轨迹方程为 x2a2+y2b2=1 (a>b>0,y≠0) ，则 2a=10 ， a=5 ， a2−b2=3 ，得 b=4 ，因此，动点 P 的轨迹方程为 x225+y216=1(y≠0) ； 解：由（1）可知 |PF1|+|PF2|=10 ，由基本不等式得 |PF1|⋅|PF2|≤(|PF1|+|PF2|2)2=25 ， 当且仅当 |PF1|=|PF2|=5 时等号成立，因此， |PF1|⋅|PF2| 的最大值为 25 .

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