题目

阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题． 探究一：如图1，在△ABC中，已知O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC=90°+ ∠A，理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC与∠ACB的平分线，∴∠1= ∠ABC，∠2= ∠ACB；∴∠1+∠2= （∠ABC+∠ACB）= （180°﹣∠A）=90°﹣ ∠A，∴∠BOC=180°﹣（∠1+∠2）=180°﹣（90°﹣ ∠A）=90°+ ∠A． （1） 探究二：如图2中，已知O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？并说明理由． （2） 探究二：如图3中，已知O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？ 答案： 解：探究2结论：∠BOC= 12 ∠A． 理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的角平分线，∴∠1= 12 ∠ABC，∠2= 12 ∠ACD，又∵∠ACD是△ABC的一个外角，∴∠2= 12 ∠ACD= 12 （∠A+∠ABC）= 12 ∠A+∠1，∵∠2是△BOC的一个外角，∴∠BOC=∠2﹣∠1= 12 ∠A+∠1﹣∠1= 12 ∠A，即∠BOC= 12 ∠A 解：由三角形的外角性质和角平分线的定义，∠OBC= 12 （∠A+∠ACB），∠OCB= 12 （∠A+∠ABC）， 在△BOC中，∠BOC=180°﹣∠OBC﹣∠OCB=180°﹣ 12 （∠A+∠ACB）﹣ 12 （∠A+∠ABC），=180°﹣ 12 （∠A+∠ACB+∠A+∠ABC），=180°﹣ 12 （180°+∠A），=90°﹣ 12 ∠A

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