题目

在 中， ， ， . （1） 求 的面积； （2） 在边 上取一点 ，使得 ，求 . 答案： 由余弦定理得 AC2=AB2+BC2−2AB⋅BC⋅cosB ， 由题设知 5=2+BC2−22×BC⋅cos45° ， 所以 BC2−2BC−3=0 ，又 BC>0 ， 所以 BC=3 ， 所以 S△ABC=12AB⋅BC⋅sinB=12×2×3×22=32 . 解法一:在 △ABC 中，由正弦定理得 ABsinC=ACsinB ， 所以 sinC=AB⋅sinBAC=2⋅225=15 ， 又 AB<AC ，所以 0<C<π4 ，所以 tanC=12 ， 在 △ABD 中， cos∠ADB=45 ， 所以 tan∠ADB=34 ， 因为 ∠DAC=∠ADB−∠C ， 所以 tan∠DAC=tan(∠ADB−∠C)=tan∠ADB−tan∠C1+tan∠ADB⋅tan∠C=34−121+34×12=211 . 法二：在 △ABC 中，由正弦定理得 BCsin∠BAC=ACsinB ， 所以 sin∠BAC=BC⋅sinBAC=3×225=31010 ， 因为 AB<AC ， B=π4 ，所以 0<C<π4 ，所以 ∠BAC>π2 . 所以 tan∠BAC=−3 ， 在 △ABD 中，因为 cos∠ADB=45 ，所以 tan∠ADB=34 . 在 △ABD 中， ∠BAD=π−(∠B+∠ADB) ， 所以 tan∠BAD=−tan(∠B+∠ADB)=−tan∠B+tan∠ADB1−tan∠B⋅tan∠ADB =−1+341−1×34=−7 ， 因为 ∠DAC=∠BAC−∠BAD ， 所以 tan∠DAC=tan(∠BAC−∠BAD)=tan∠BAC−tan∠BAD1+tan∠BAC⋅tan∠BAD =−3−(−7)1+(−3)×(−7)=211 .

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