题目

甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为 ， （1） 求甲连胜四场的概率； （2） 求需要进行第五场比赛的概率； （3） 求丙最终获胜的概率. 答案： 解：记事件M:甲连胜四场，则 P(M)=(12)4=116 ； 解：记事件A为甲输，事件B为乙输，事件C为丙输， 则四局内结束比赛的概率为 P′=P(ABAB)+P(ACAC)+P(BCBC)+P(BABA)=4×(12)4=14 ， 所以，需要进行第五场比赛的概率为 P=1−P′=34 ； 解：记事件A为甲输，事件B为乙输，事件C为丙输， 记事件M:甲赢，记事件N:丙赢， 则甲赢的基本事件包括： BCBC 、 ABCBC 、 ACBCB 、 BABCC 、 BACBC 、 BCACB 、 BCABC 、 BCBAC ， 所以，甲赢的概率为 P(M)=(12)4+7×(12)5=932 . 由对称性可知，乙赢的概率和甲赢的概率相等， 所以丙赢的概率为 P(N)=1−2×932=716 .

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