题目

如图，在等腰△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O与AC相交于点D，与CB的延长线相交于点E，过点D作DF⊥BC交AB的延长于点F，垂足为点M. （1） 判定直线DF与⊙O的位置关系，并说明理由； （2） 若BF＝4，∠F＝30°，求图中阴影部分的面积. 答案： 解：直线DF与⊙O相切于点D，理由如下： 连接OD，BD， ∵ AB=BC ， OA=OD ， ∴ ∠BAC=∠BCA ， ∠OAD=∠ODA ， ∴ ∠BCA=∠ODA ， ∴ OD//BC ， ∴ ∠ODF=∠CMD ， ∵ DF⊥BC ， ∴ ∠CMD=90° ， ∴ ∠ODF=90° ， ∴ DF⊥OD ， ∴直线DF与⊙O相切于点D 解：连接OE，过点D作DN⊥OF于点N， ∵ ∠F=30° ， ∠ODF=90° ， ∴ ∠DOF=60° ， ∵ OD//BC ， ∴ ∠OBE=∠DOF=60° ， ∵ OB=OE ， ∴ ∠BOE=60° ， ∴ BD=BE ， BD⌢=BE⌢ ， ∴弦 BD 与 BD⌢ 围成的弓形面积＝弦 BE 与 BE⌢ 围成的弓形面积.  ∴ S阴影=S△ODF−S△OBD ， 在 △ODF 中， ∠ODF=90° ， ∠F=30° ， ∴ 2OD=OF=OB+BF=OB+4 ∵ OD=OB ， ∴ OD=OB=4 ， ∴ OF=8 ， ∴ DF=OF2−OD2=82−42=43 ， 在 △DNF 中， DN⊥OF ， ∴ ∠DNF=90° ， ∵ ∠F=30° ， DN=12DF=23 ， ∴ S阴影=12OF·DN−12OB·DN=12DN(OF−OB)=12×23(8−4)=43 .

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