题目

已知数列 的首项为正数，其前 项和 满足 . （1） 求实数 的值，使得 是等比数列； （2） 设 ，求数列 的前 项和. 答案： 解：当 n=1 时， 2a1=3a1−8a1 ，由于首项为正，解得 S12=a12=8 ； 当 n≥2 时，把 an=Sn−Sn−1 代入题设条件得 Sn2=9Sn−12+8 ，即Sn2+1=9Sn−12+1. 由 (Sn2+λ) 是等比数列，则其公比q满足 Sm2+λ=q(Sn−12+λ) . 对比系数得 q=9 ， λ=1 . 解：由（1）知 {Sn2+1} 是首项为 S12+1=9≠0 ，公比 q=9 的等比数列， 所以 Sn2=9n−1 ， bn2=9n(9n−1)(9n+1−1)=18×(9n+1−1)−(9n−1)(9n−1)(9n+1−1)=18(19n−1−19n+1−1) . 故数列 {bn2} 的前 n 项和为 b12+b22+⋅⋅⋅+bn2=18191-1-192-1+192-1-193-1+…+19n-1-19n+1-1=18(18−19n+1−1)

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