题目

设函数 ． （1） 若 是偶函数，求 的值； （2） 若存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围； （3） 设函数 ，若 在 有零点，求实数 的取值范围． 答案： 解：若 y=fk(x) 是偶函数，则 fk(−x)=fk(x) ，即 2−x+(k−1)⋅2x=2x+(k−1)⋅2−x 即 2−x−2x=(k−1)⋅2−x−(k−1)⋅2x=(k−1)(2−x−2x) ，则 k−1=1 ，即 k=2 解： ∵f0(x)+mf1(x)≤4 ，即 2x−2−x+m⋅2x≤4 ，即 m2x≤4−2x+2−x ， 则 m≤4−2x+2−x2x=4⋅2−x+(2−x)2−1 ，设 t=2−x ， ∵1≤x≤2 ， ∴14≤t≤12 . 设 4⋅2−x+(2−x)2−1=t2+4t−1 ，则 y=t2+4t−1=(t+2)2−5 ， 则函数 y=t2+4t−1 在区间 [14,12] 上为增函数， ∴ 当 t=12 时，函数取得最大值 ymax=14+2−1=54 ， ∴m≤54 . 因此，实数 m 的取值范围是 (−∞,54] 解： f0(x)=2x−2−x，f2(x)=2x+2−x ，则 f2(2x)=22x+2−2x=(2x−2−x)2+2 ， 则 g(x)=λf0(x)−f2(2x)+4=λ(2x−2−x)−(2x−2−x)2+2 ， 设 t=2x−2−x ，当 x≥1 时，函数 t=2x−2−x 为增函数，则 t≥2−12=32 ， 若 y=g(x) 在 [1,+∞) 有零点，即 g(x)=λ(2x−2−x)−(2x−2−x)2+2=λt−t2+2=0 在 t≥32 上有解，即 λt=t2−2 ，即 λ=t−2t ， ∵ 函数 y=t−2t 在 [32,+∞) 上单调递增，则 ymin=32−2×23=16 ，即 y≥16 . ∴λ≥16 ，因此，实数 λ 的取值范围是 [16,+∞)

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