题目

设数列A： ， ,… ( ).如果对小于 ( )的每个正整数 都有 ＜ ，则称 是数列A的一个“G时刻”.记“ 是数列A的所有“G时刻”组成的集合. （1） 对数列A：-2，2，-1，1，3，写出 的所有元素； （2） 证明：若数列A中存在 使得 > ，则 ； （3） 证明：若数列A满足 - ≤1（n=2,3, …,N）,则 的元素个数不小于 - . 答案： 解： {2n−12,n为奇数2n2,n为偶数 的元素为2和5. 解：因为存在 aN−a1≤an0−a1=∑i=1p(ani−ani−1)≤p 使得 an > a1 ，所以 {i∈N∗|2≤i≤N,ai>a1}≠∅ . 记 m=min{i∈N∗|2≤i≤N,ai>a1} ， 则 m≥2 ，且对任意正整数 k<m ， ak≤a1<am . 因此 m∈G(A) ，从而 k<m∈G(A)≠∅ . 解：当 an≤a1 时，结论成立. 以下设 an<a1 . 由（Ⅱ）知 k<m∈G(A)≠∅ . 设 G(A)={n1,n2,⋯,np} ， n1<n2<⋯<np ，记 n0=1 .. 则 an0<an1<an2<⋯<an0 . 对 i=0,1,⋯,p ，记 Gi={k∈N∗|ni〈k≤N,ak〉ani} . 如果 Gi≠∅ ，取 an0<an1<an2<⋯<an0 ，则对任何 1≤k<miak<an1<am . 从而 mi∈G(A) 且 mi=ni+1 . 又因为 np 是 {2n−12,n为奇数2n2,n为偶数 中的最大元素，所以 Gp=∅ . 从而对任意 np≤k≤N ， ak≤an0 ，特别地， an≤an0 . 对 i=0,1,⋯,p−1,ani+1≤an . 因此 ani+1=ani+1−1+(ani+1−ani+1−1)≤ani+1 . 所以 aN−a1≤an0−a1=∑i=1p(ani−ani−1)≤p . 因此 {2n−12,n为奇数2n2,n为偶数 的元素个数p不小于 aN−a1 .

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