题目

已知，射线 ，点 为平面内一点，请探究下列问题： （1） 当点 在直线 上， 平分 ， 平分 . ①请判断图1中 和 之间的位置关系，并写出你的思考过程； ②请通过画图、猜想、度量或推理等过程，思考①中的结论是否永远成立？如果不永远成立，那么还存在的位置关系是  ▲  ，此时点 的位置在  ▲  ； （2） 当点 不在直线 上，且在 与 之间时， ， ，请直接写出 与 、 之间的关系. 答案： 解：① ∵AB//CD ， ∴∠BAD=∠CDA （两直线平行，内错角相等） ∵AM 平分 ∠BAP ， DN 平分 ∠CDP ， ∴∠BAM=∠DAM=12∠BAD ， ∠CDN=∠ADN=12∠CDA ， ∴∠DAM=∠ADN ， ∴AM//DN （内错角相等，两直线平行） ②不成立；互相垂直|点 P 在直线 AD 上，且在线段 AB 的上方或 CD 的下方 解：如图3， 当点 P 在 AD 右侧时， 过点 P 作 PQ//AB ， 则 ∠BAP=∠APQ ， ∵AB//CD ， ∴PQ//CD ， ∴∠DPQ+∠PDC=180° ， ∴∠BAP=∠APD−(180°−∠PDC) 即： ∠APD=a+180°−b . 同理，当点 P 在 AD 左侧时，可得： ∠APD=b+180°−a ， 综上所述 ∠APD 与 a 、 b 之间的关系为： ∠APD=a+180°−b 或 ∠APD=b+180°−a .

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