题目

若存在某常数M（或m），对于一切 ， 都有（或），则称数列的上（或下）界，若数列既有上界也有下界，则称数列为“有界”. （1） 已知4个数列的通项公式如下：①；②；③；④.请写出其中“有界数列”的序号； （2） 若 ， 判断数列是否为“有界数列”，说明理由； （3） 在（2）的条件下，记数列的前n项和为 ， 是否存在正整数k，使 ， 都有成立？若存在，求出k的范围；若不存在，说明理由. 答案： 解：①中an=2n+1随着n的增大而增大，无“上界”；②中bn=4+1n随着n的增大而减小，且当n=1时有最大值5，且an>4恒成立，故bn=4+1n为“有界数列”；③中cn=2n+1随着n的增大而增大，无“上界”；④中dn=1或dn=−1，为“有界数列”；故“有界数列”的序号为②④ 解：an=3n+13n+4=1−33n+4，随着n的增大而增大，且an≥a1=47，an<1，故存在常数47使得an≥47，常数1使得an≤1，故数列{an}为“有界数列” 解：an=1−33n+4，故Sn=1−37+1−310+...+1−33n+4=n−(37+310+...+33n+4)，若要Sn<n−1，则n−(37+310+...+33n+4)<n−1，即37+310+...+33n+4>1，因为 37+310+313=873910≈0.959>0.95，37+310+313+316>0.95+316>1，故当n≥4时，都有Sn<n−1成立，故若存在正整数k，使n≥k，都有Sn<n−1成立，则k≥4

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