题目

已知点O为坐标原点，椭圆C： （a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1 ， F2 ， 离心率为 ，点I，J分别是椭圆C的右顶点、上顶点，△IOJ的边IJ上的中线长为 ． （1） 求椭圆C的标准方程； （2） 过点H（－2，0）的直线交椭圆C于A，B两点，若AF1⊥BF1 ， 求直线AB的方程． 答案： 解：由题意得△IOJ为直角三角形，且其斜边上的中线长为 32 ，所以 IJ=3 ． 设椭圆C的半焦距为c，则 {ca=22,a2+b2=3,a2=b2+c2,  解得 {a=2,b=1.  所以椭圆C的标准方程为 x22+y2=1 ． 解：由题知，点F1的坐标为（－1，0），显然直线AB的斜率存在， 设直线AB的方程为y＝k（x＋2）（k≠0），点A（x1，y1），B（x2，y2）． 联立 {x22+y2=1,y=k(x+2),  消去y，得（1＋2k2）x2＋8k2x＋8k2－2＝0， 所以Δ＝（8k2）2－4（1＋2k2）（8k2－2）＝8（1－2k2）＞0，所以 0<k2<12 ．（*） 且 x1+x2=−8k21+2k2 ， x1x2=8k2−21+2k2 ． 因为AF1⊥BF1，所以 AF1⇀⋅BF1⇀=0 ， 则（－1－x1，－y1）·（－1－x2，－y2）＝0， 1＋x1＋x2＋x1x2＋y1y2＝0， 1＋x1＋x2＋x1x2＋k（x1＋2）·k（x2＋2）＝0， 整理，得（1＋2k2）（x1＋x2）＋（1＋k2）x1x2＋1＋4k2＝0． 即 (1+2k2)⋅(−8k21+2k2)+(1+k2)(8k2−2)1+2k2+1+4k2=0 ． 化简得4k2－1＝0，解得 k=±12 ． 因为 k=±12 都满足（*）式，所以直线AB的方程为 y=12(x+2) 或 y=−12(x+2) ． 即直线AB的方程为x－2y＋2＝0或x＋2y＋2＝0

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