题目

如图所示，在光滑绝缘水平面上，存在两个相邻的相同矩形区域CDMN和NMHG，CD=NM=GH=2d、CN=NG=d．区域CDMN中存在方向竖直向下的匀强磁场B1 ， 区域MMHG中存在方向竖直向上的匀强磁场B2。不可伸长的轻质细线，一端固定于O点，另一端拴有一个质量为 的绝缘小球a。拉紧细线使小球a从距离桌面高h的位置静止释放，当小球a沿圆弧运动至悬点正下方位置时，与静止于该处的带正电小球b发生正碰，碰后小球a向左摆动，上升的最大高度为 ，小球b从CD边界中点P垂直进入CDMN区域，已知小球b质量为m，带电量为+q，且始终保持不变，重力加速度为g。则 （1） 通过计算判断a、b两小球的碰撞是否为弹性碰撞； （2） 若B1=B2=B，要使b小球能从NG边界射出，求B的取值范围； （3） 若区域CDMN中磁感应强度B1= ，方向仍竖直向下。将区域NMHG中磁场改为匀强电场，电场方向水平且由N指向M。是否存在一个大小合适的场强使小球b恰由H点离开电场区域，若存在请算出场强E的大小，不存在请说明理由。 答案： 解：设小球a碰前的速率为 va ，碰后速率为 va′ ，小球b的速率为 vb ，a小球与b小球碰撞前： m3gh=12×m3va2 ① a小球与b小球碰撞后： m3g×14h=12×m3va'2 ② a小球与b小球碰撞时，以水平向右为正方向： m3va=−m3va′+mvb ③ 联立①②③得： va=2va'=2vb vb=gh2 碰撞前两物体总动能 E1=mva26=mgh3 碰撞后两物体总动能 E2=mva'26+12mv2=13mgh 碰撞前后总动能守恒，所以a、b两小球碰撞属于弹性碰撞 解：若小球b恰好从N点射出，作出小球的运动轨迹，如图所示。由几何关系得： R=d④ 而 qvbB=mvb2R ⑤ 联立解得： B=mqdgh2 ； 若小球b恰好从G点射出，作出小球的运动轨迹，如图所示。 由几何关系可得： (R'−d2)2+d2=R'2 ⑥ R'=mvbB'q ⑦ 联立解得： R′=54d B'=4m5qdgh2 综上可得B的取值范围为： 4m5qdgh2≤B≤mqdgh2 解：由(2)可得当 B1=4m5qdgh2 小球b在CDMN区域里做圆周运动后小球从距离N点 d2 处以速度vb斜射入MNGH区域中，设vb与边界NM夹角为θ，由几何关系得： cosθ=dR=0.8 由运动合成分解可知： vx=0.6vb vy=0.8vb 假设小球恰好能从H点离开电场，运动时间为t。x轴方向做匀速直线运动，y轴方向做类竖直上抛运动。x=d x=vxt⑧ y=−32d y=vyt−12at2 ⑨ （以电场相反方向为正方向） a=Eqm ⑩ 联立解得： a=5lgh50d E=51mgh50qd 令vy减为0时，小球沿y轴向上的最大位移 ymax=vy22a=8d51<d2 小球未从NG边界离开电场区域。 故假设成立，即电场强度 E=51mgh50qd 时小球恰能从H点离开

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