题目

已知直线 过点 且倾斜角为 ， 与曲线 分别交于 、 两点且 、 、 成等比数列. （1） 写出直线 的参数方程； （2） 求 的值. 答案： 解：由题可知，直线 l 的参数方程为 {x=−1+cosπ4ty=−2+sinπ4t （ t 为参数），即 {x=−1+22ty=−2+22t （ t 为参数）； 解：设点 M 、 N 在直线 l 上所对应的参数分别为 t1 、 t2 ， 将直线 l 的参数方程代入抛物线方程得 t2−(42+22a)t+8+4a=0 ， Δ=8(a+2)2−4(8+4a)=8a(a+2)>0 ， 由韦达定理可得 t1+t2=22a+42 ， t1⋅t2=8+4a ， 由 t 的几何意义知 |PM|=|t1| ， |PN|=|t2| ， |MN|=|t1−t2| ， 因为 |PM| 、 |MN| 、 |PN| 成等比数列，得 |MN|2=|PM|⋅|PN| ，故 |t1−t2|2=|t1|⋅|t2| ， 又 a>0 ，知 t1⋅t2>0 ，所以 (t1+t2)2=5t1t2 ，即 (42+22a)2=5(8+4a) ， ∵a>0 ，解得 a=12 .

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