题目

在平面直角坐标系中，我们定义点P（a，b）的“变换点”为Q．且规定：当a≥b时，Q为（b，﹣a）；当a＜b时，Q为（a，﹣b）． （1） 点（2，1）的变换点坐标为； （2） 若点A（a，﹣2）的变换点在函数y= 的图象上，求a的值； （3） 已知直线l与坐标轴交于（6，0），（0，3）两点．将直线l上所有点的变换点组成一个新的图形记作M． 判断抛物线y=x2+c与图形M的交点个数，以及相应的c的取值范围，请直接写出结论． 答案： 【1】（1，﹣2） 解：当a≥﹣2时，则A（a，﹣2）的变换点坐标为（﹣2，﹣a），代入y= 1x 可得﹣a= 1−2 ，解得a= 12 ；当a＜﹣2时，则A（a，﹣2）的变换点坐标为（a，2），代入y= 1x 可得2= 1a ，解得a= 12 ，不符合题意；综上可知a的值为 12 ； 解：设直线l的解析式为y=kx+b （k≠0 ），将点（6，0）、（0，3）代入y=kx+b得： {6a+b=0b=3 ，解得 {a=−12b=3 ，∴直线l的解析式为y=﹣ 12 x+3．当x=y时，x=﹣ 12 x+3，解得x=2．点C的坐标为（2，﹣2），点C的变换点的坐标为C′（ 2，﹣2 ），点（6，0）的变换点的坐标为（0，﹣6），点（0，3）的变换点的坐标为（0，﹣3），当x≥2时，所有变换点组成的图形是以C′（ 2，﹣2）为端点，过（0，﹣6 ）的一条射线；即：y=2x﹣6，其中x≥2，当x＜2时，所有变换点组成的图形是以C′（2，﹣2）为端点，过（0，﹣3）的一条射线，即y= 12 x﹣3，其中，x＜2．所以新的图形M是以C′（2，﹣2）为端点的两条射线组成的图形．如图所示：由 {y=12x−3y=x2+c 和 {y=2c−6y=x2+c 得：x2﹣ 12 x+c+3=0①和x2﹣2x+c+6=0②讨论一元二次方程根的判别式及抛物线与点C′的位置关系可得：①当方程①无实数根时，即：当c＞﹣ 4716 时，抛物线y=x2+c与图形M没有交点；②当方程①有两个相等实数根时，即：当c=﹣ 4716 时，抛物线y=x2+c与图形M有一个交点；③当方程②无实数根，且方程①有两个不相等的实数根时，即：当﹣5＜c＜﹣ 4716 时，抛物线y=x2+c与图形M有两个交点；④当方程②有两个相等实数根或y=x2+c恰好经过经过点C′时，即：当c=﹣5或c=﹣6时，抛物线y=x2+c与图形M有三个交点；⑤当方程②方程①均有两个不相等的实数根时，且两根均小于2，即：当﹣6＜c＜﹣5时，抛物线y=x2+c与图形M有四个交点；⑥当c＜﹣6时，抛物线y=x2+c与图形M有两个交点．

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