题目

（本题满分16分）已知数列中，，，且 ．（Ⅰ）设，证明是等比数列； （Ⅱ）求数列的通项公式； （Ⅲ）若是与的等差中项，求的值，并证明：对任意的，是与的等差中项． 答案：解析：（Ⅰ）证明：由题设，得 ， 即． 又，，所以是首项为1，公比为的等比数列． （Ⅱ）解：由（Ⅰ）， ， ， …… ． 将以上各式相加，得．所以当时， 上式对显然成立． （Ⅲ）解：由（Ⅱ），当时，显然不是与的等差中项，故． 由可得，由得 ，      ① 整理得，解得或（舍去）．于是 ． 另一方面， ， ． 由①可得 ． 所以对任意的，是与的等差中项．

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