题目

如图所示，在△ABC中，a＝b·cos C＋c·cos B，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边，在四面体P­ABC中，S1 ， S2 ， S3 ， S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，α，β，γ依次表示面PAB，面PBC，面PCA与底面ABC所成二面角的大小．写出对四面体性质的猜想，并证明你的结论 答案：解：类比三角形中的结论，猜想在四面体中的结论为S＝S1·cos α＋S2·cos β＋S3·cos γ.证明：如图，设P点在底面的射影为O点，过O点作 OH⊥AB ，交AB于H，连接PH，OA，OB，∠PHO 就是平面PAB与底面ABC所成的二面角，则 ∠PHO=α ，S△AOB=12×AB×OH，S△PAB=12×AB×PH ， cosα=cos∠PHO=OHPH=S△AOBS1∴S△AOB=S1cosα 同理， S△COB=S2cosβ，S△AOC=S3cosγ ，又 S=S△AOB+S△COB+S△AOC ， S＝S1·cos α＋S2·cos β＋S3·cos γ

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